Η φύση του μουσικού ήχου (Μέρος Β)

ΜΗΚΗ ΧΟΡΔΗΣ

Ας υποθέσουμε ότι το μήκος μιας χορδής είναι 68 cm. Το μήκος μετριέται ανάμεσα στα σημεία στήριξης της χορδής.

Θεωρούμε ότι η χορδή όταν την χτυπάμε ελεύθερη -χωρίς να την πιάνουμε σε κάποιο σημείο με το δάχτυλό μας- μας δίνει την νότα ΝΤΟ1. Στη μέση ακριβώς του μήκους της θα δίνει την κατά μια οκτάβα ψηλότερη ΝΤΟ, που την ονομάζουμε ΝΤΟ2.

Δηλαδή η ΝΤΟ2 θα δίνεται από μήκος χορδής 68/2 = 34 cm.

Aυτά είναι και τα άκρα της οκτάβας που θα ορίσουμε τις νότες. Αν διαιρέσουμε το μήκος της χορδής με το κλάσμα που αντιστοιχεί στην κάθε νότα θα προκύπτει το μήκος χορδής που δίνει αυτή την νότα.

Για παράδειγμα: Το μήκος χορδής που δίνει την ΜΙ 5/4 θα είναι 68 : 5/4= 54,4 cm.

Δηλαδή όταν πρόκειται για συχνότητα, πολλαπλασιάζουμε την συχνότητα της ΝΤΟ1 με το κλάσμα κάθε νότας, ενώ για μήκος χορδής διαιρούμε το μήκος που δίνει την ΝΤΟ1 με το κλάσμα κάθε νότας.

Τα μήκη χορδής για όλες τις νότες θα διαμορφωθούν ως εξής:

Νότες Μήκος χορδής

ΝΤΟ 68 cm

NT0 # ή PEb 16/15 63,75 cm

PE 9/8 60,44 cm

PE # ή MIb 6/5 56,55 cm

MI 5/4 54,4 cm

ΦA4/3 51 cm

ΦA # ή ΣOΛb 45/32 48,35 cm

ΣOΛ3/2 45,33 cm

ΣOΛ # ή ΛA 8/5 42,5 cm

ΛA5/3 40,8 cm

ΛA # ή ΣIb 16/9 38,25 cm

ΣI 15/8 36,26 cm

NTO2 34 cm

Οι νότες της πιο ψηλής οκτάβας ανάμεσα στο ΝΤΟ2 και ΝΤΟ4 θα δίνονται αν διαιρέσουμε με το 2 το μήκος της χορδής που δίνει την κάθε νότα.

Δηλαδή αφού η νότα ΦΑ δίνεται από μήκος χορδής 51 cm, τότε η πιο ψηλή ΦΑ ή ΦΑ2 θα δίνεται από 51/2 = 25,5 cm και το ίδιο για όλες τις νότες.

θ. Ο ΣΥΓΚΕΡΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ

Αν με τις τιμές που δώσαμε στις νότες προσπαθήσει κάποιος να παίξει σε διαφορετική τονικότητα από την ΝΤΟ+ (ΝΤΟ μείζονα) θα υπάρξει πρόβλημα.

Το πρόβλημα εστιάζεται στο ότι οι αρμονικοί της νότας ΝΤΟ δεν συμπίπτουν -τουλάχιστον με ακρίβεια- με τους αρμονικούς της νότας ΡΕ για παράδειγμα. Δηλαδή:

Τη νότα ΛΑ την ορίσαμε ως 5/3.

Θυμίζω ότι ορίστηκε έτσι σαν 5ος αρμονικός της ΦΑ 1/3 .

Όμως η νότα ΛΑ είναι και 3ος Αρμονικός της νότας ΡΕ (βλέπε πίνακα Αρμονικών). Όταν παίζουμε σε τονικότητα ΡΕ οφείλει να ακούγεται σαν τέτοια, αφού η συγγένεια με την τονικότητα ΡΕ είναι η καθοριστική. Η νότα ΛΑ όμως σαν 3ος Αρμονικός της ΡΕ δεν έχει την ίδια τιμή που έχει η αντίστοιχη ΛΑ 5/3, που είναι ο 5ος αρμονικός της ΦΑ.

Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε ως εξής:

ΡΕ 9/8 x 3 = 27/8 και για να το φέρουμε μέσα στην οκτάβα (στην περιοχή από το 1 έως το 2) γίνεται27/16.

Οπότε η ΛΑ 27/16 είναι ο 3oς Αρμονικός της ΡΕ 9/8.

Η τιμή αυτή είναι λίγο μεγαλύτερη από την ΛΑ 5/3 .

Η διαφορά τους είναι 1/48

Η διαφορά αυτή μπορεί να φαίνεται μικρή, είναι όμως ευδιάκριτη στο αυτί ακόμα και του άσχετου από μουσική. Δηλαδή στην οκτάβα που ορίσαμε ανάμεσα στο ΝΤΟ1 και το ΝΤΟ2, όπου η ΝΤΟ1 = 264 Hz και η ΝΤΟ2 = 528 Hz, η ΛΑ θα ήταν 445,5 Hz και όχι 440.

Οι 5,5 Hz (συχνότητες) διαφορά είναι σοβαρή διαφορά, δεδομένου ότι το όριο απόκλισης που δεχόμαστε για το διακρότημα (το φάλτσο) είναι γύρω στα 3 Hz πάνω ή κάτω από την καθορισμένη συχνότητα. Αυτή μάλιστα η ανοχή υπάρχει για την ανθρώπινη φωνή κυρίως και πολύ λίγο για τα μουσικά όργανα. Η διαφορά αυτή μεταφέρεται κατόπιν και στην αρμονική ακολουθία της ΛΑ και έτσι το πρόβλημα μεγεθύνεται.

Στα μουσικά όργανα το ύψος των ήχων καθορίζεται από την κατασκευή τους, με εξαίρεση κάποια όργανα (όπως το βιολί). Αυτό σημαίνει ότι κάθε μουσικό όργανο θα πρέπει να είναι φτιαγμένο για μία και μόνη τονικότητα ή σε κάποια όργανα, όπως η άρπα ή το σαντούρι που οι χορδές παίζονται ελεύθερες, πρέπει να αλλάζει το κούρδισμά τους ανάλογα με την κλίμακα.

Η εξέλιξη όμως της μουσικής έχει ανάγκη όχι μόνο να μπορεί να παίξει με το ίδιο όργανο το ίδιο κομμάτι από όλες τις τονικότητες, αλλά πολλές φορές μέσα στο ίδιο μουσικό κομμάτι αλλάζει η τονικότητα (δηλαδή έχουμε μετατροπία) και έτσι προέβαλε η ανάγκη για μια λύση σ’ αυτό το πρόβλημα.

Η λύση βρέθηκε με τον ισοσυγκερασμό της κλίμακας. Δηλαδή, να γίνουν οι τιμές για τις νότες τέτοιες ώστε να επιτρέπουν όλες τις τονικότητες. Βέβαια, έπρεπε να επιτευχθεί ένας συμβιβασμός έτσι ώστε οι νότες να έχουν μια μικρή απόκλιση από τη φυσική τους τιμή (να δημιουργούν ένα μικρό φάλτσο) ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν κυκλικά για όλες τις τονικότητες.

Το πρόβλημα ετέθη ως εξής:

Πρέπει να βρεθεί ένας αριθμός που όταν η ΝΤΟ1 πολλαπλασιαστεί με αυτόν δώδεκα φορές, να μας δίνει την ΝΤΟ2. Μ’ αυτόν τον τρόπο η οκτάβα θα χωριζόταν σε 12 ίσα κομμάτια (ημιτόνια) που το καθένα από αυτά θα είχε λόγο (σχέση-διαίρεση) ίσο με τα άλλα.

Ο αριθμός αυτός είναι η δωδεκάτη ρίζα του 2.

Ο αριθμός αυτός είναι = 1,059463094

Είναι ο αριθμός που αν πολλαπλασιαστεί 12 φορές με τον εαυτό του μας δίνει τον αριθμό 2. Αν πολλαπλασιάσουμε την τιμή του ΝΤΟ1 με αυτόν τον αριθμό μας δίνει την ΝΤΟ #, αν πολλαπλασιάσουμε την ΝΤΟ # με τον ίδιο αριθμό μας δίνει την ΡΕ κ.ο.κ. μέχρι τη δωδέκατη φορά που θα προκύψει η ΝΤΟ2.

Δηλαδή:

ΝΤΟ1 x 1,05946309 = 1,059463094 NTO # ή ΡΕb

NTO# (ΡΕb) x 1,059463094 = 1,122462048 ΡΕ

ΡΕ x 1,059463094 = 1,189207115 ΡΕ # ή ΜΙb

ΡΕ # (ΜΙb) x 1,059463094 = 1,25992105 ΜΙ

ΜΙ x 1,059463094 = 1,334839854 ΦA

ΦΑ x 1,059463094 = 1,414213562 ΦA # ή ΣΟΛb

ΦΑ #(ΣΟΛb) x 1,059463094 = 1,498307076 ΣΟΛ

ΣΟΛ x 1,059463094 = 1,587401052 ΣΟΛ # ή ΛΑb

ΣΟΛ#(ΛΑb) x 1,059463094 = 1,68179283 ΛΑ

ΛΑ x 1,059463094 = 1,781797436 ΛΑ # ή ΣΙb

ΛΑ (ΣΙb) x 1,059463094 = 1,887748624 ΣΙ

ΣΙ x 1,059463094 = 2 ΝΤΟ2

Οι νότες που χρησιμοποιούμε στη μουσική σήμερα δίνονται από αυτές τις τιμές. Αν δηλαδή γνωρίζουμε τη συχνότητα μιας νότας ή το μήκος χορδής που την δίνει, τότε μπορούμε να βρούμε όλες τις υπόλοιπες.

Αν η νότα ΛΑ = 440 Hz όσο και στην ασυγκέραστη κλίμακα, τότε η ΝΤΟ1 θα δίνεται από τη διαίρεση της τιμής της ΛΑ (440) δια του αριθμού που αντιστοιχεί στη νότα (1,68179283) με βάση τον παραπάνω πίνακα. Οπότε η συχνότητα της ΝΤΟ1 θα είναι:

440 : 1,68179283=261,6255654

Αν τη συχνότητα της ΝΤΟ1 την πολλαπλασιάσουμε με τον αριθμό μιας νότας, τότε θα προκύψει η συχνότητα αυτής της νότας.

ΝΤΟ1 (261,6255654 Hz) x 1,334839854 (ΦA) = 349,2282315 Ηz.

Η συχνότητα λοιπόν της νότας ΦA είναι 349,2282315 Ηz.

Αν τώρα θέλουμε να βρούμε το μήκος χορδής όπου δίδεται η κάθε νότα τότε: αν όλη η χορδή θεωρηθεί ότι δίνει τη νότα ΝΤΟ, θα διαιρέσουμε το μήκος της με τον αντίστοιχο αριθμό κάθε νότας. Για το μήκος της χορδής διαιρούμε αντί να πολλαπλασιάζουμε (όπως κάναμε με τις συχνότητες) επειδή, όπως έχουμε πει, το μήκος χορδής είναι αντιστρόφως ανάλογο προς τη συχνότητα (το ύψος) της νότας.

Για παράδειγμα:

Αν η νότα ΝΤΟ1 δίδεται από μήκος χορδής 90 cm, τότε από ποιο μήκος δίδονται οι ΝΤΟ2, η ΣΟΛ και η ΡΕ #; Οπότε:

ΝΤΟ2= 90 : 2 =45 cm

ΣΟΛ= 90 : 1,4983070=60,06779 cm

ΡΕ#= 90 : 1,18920=75,680 cm

Μ’ αυτόν τον τρόπο καθορίζονται οι αποστάσεις των τάστων (δεσμών) που έχουν κάποια έγχορδα ή το μήκος των ηχητικών σωλήνων και οι αποστάσεις που έχουν οι οπές στα πνευστά.

Οι διαφορές που έχουν οι συχνότητες των φθόγγων της συγκερασμένης κλίμακας με αυτές της κλίμακας των αρμονικών (ασυγκέραστη) θα είναι ως εξής:

Η νότα ΛΑ θα θεωρηθεί και στις δύο περιπτώσεις ίση με 440 Hz.

Συχνότητες Συχνότητες

Νότες συγκερασμένης ασυγκέραστης Διαφορά

ΝΤΟ 1261,6255 264 2,3745

ΝΤΟ# 277,1826 281,6 4,4174

ΡΕ 293,6647 297 3,3353

ΡΕ # 311,1269 316,8 5,6731

ΜΙ 329,6275 330 0,3725

ΦA 349,2282 352 2,7718

ΦA# 369,9994 371,25 1,2506

ΣΟΛ 391,9954 396 4,0046

ΣΟΛ# 415,3046 422,4 7,0954

ΛΑ 440 440 0

ΛΑ# 466,1637 469,3333 3,1696

ΣΙ 493,8833 495 1,1167

ΝΤΟ2 523,2511 528 4,7489

Παρατηρούμε ότι οι διαφορές σε μερικές νότες είναι αισθητές και ευδιάκριτες από το αυτί.

. Ο ισοσυγκερασμός της μουσικής κλίμακας σε δώδεκα (12) ίσα ημιτόνια ήταν μια επανάσταση για τη μουσική. Η μελωδία που πριν αναγκαστικά έπρεπε να κινηθεί σε μια τονικότητα άρχισε να αναζητά δρόμους μέσα απ’ όλες τις τονικότητες για να εκφράσει το περιεχόμενό της.

Ίσως το αντίστοιχο της ατμομηχανής και του σιδηροδρόμου στη βιομηχανία ή της προοπτικής στη ζωγραφική να ήταν ο ισοσυγκερασμός της μουσικής κλίμακας που επέτρεψε τη δημιουργία όλων των μεγάλων κλασικών έργων που γνωρίζουμε.

Το θετικό λοιπόν του συγκερασμού ήταν η απελευθέρωση της μουσικής από τα δεσμά μιας και μόνο τονικότητας που στην υπερβολή της οδήγησε και στην απαίτηση της κατάργησης της τονικότητας από μερικούς συνθέτες στις αρχές του 20ού αιώνα (ατονική μουσική).

Το αρνητικό είναι το ότι οι νότες δεν έχουν την ακρίβεια της φυσικής μουσικής κλίμακας. Το πρόβλημα αυτό παραμένει άλυτο και είναι ένα από τα πιο δυσεπίλυτα προβλήματα που καλείται να αντιμετωπίσει η μουσική του μέλλοντος.